诺特定律

Karuboniru · 2020-03-30

标签：学习

诺特定律, 也即对称性蕴含守恒流, 更加准确的说法是

每一个局部作用的可微的对称性, 都蕴含某种守恒流.

什么是守恒流

守恒流是满足:

𝜕_{𝜇} 𝑗^{𝜇} = 0

的一个场.

而对称性的考量数学上就有两种看法

接下来我们会更加自然的考虑后者, 因为后者更加容易给出明确的数学表示.

也就是时空点 $𝑃$ , 坐标 $𝑥^{𝜇}$ , 场 $𝑓 (𝑥^{𝜇})$ , 变为坐标 $𝑥^{' 𝜇}$ , 场 $𝑓^{'} (𝑥^{' 𝜇})$ ,

考虑在一个无穷小变换 $𝑥^{'} \to 𝑥 + 𝛿 𝑥$ 下, 场的变换可以写作:

\begin{aligned} 𝛿 𝑓 & = 𝑓^{'} (𝑥^{' 𝜇}) - 𝑓 (𝑥^{𝜇}) \\ = 𝑓^{'} (𝑥^{𝜇} + 𝛿 𝑥^{𝜇}) - 𝑓 (𝑥^{𝜇}) \\ = 𝑓^{'} (𝑥^{𝜇}) - 𝑓 (𝑥) + 𝛿 𝑥^{𝜇} 𝜕_{𝜇} 𝑓^{'} (𝑥^{𝜇}) + 𝒪︀ (𝛿 𝑥^{2}) \\ = 𝑓^{'} (𝑥^{𝜇}) - 𝑓 (𝑥) + 𝛿 𝑥^{𝜇} 𝜕_{𝜇} 𝑓 (𝑥^{𝜇}) + 𝒪︀ (𝛿 𝑥^{2}) \end{aligned}

而 $𝜕_{𝜇} 𝑓^{'}$ 被换成 $𝜕_{𝜇} 𝑓$ 带来的差异不会大于 $𝛿 𝑥$ 的一阶. 并定义 $𝑓^{'} (𝑥^{𝜇}) - 𝑓 (𝑥)$ 为 $𝛿_{0} 𝑓$ 从而可以写出:

𝛿 𝑓 = 𝛿_{0} 𝑓 + 𝛿 𝑥^{𝜇} 𝜕_{𝜇} 𝑓

或者说

𝛿 = 𝛿_{0} + 𝛿 𝑥^{𝜇} 𝜕_{𝜇}

其中 $𝛿_{0} 𝑓$ 表述场本身的变化, 而 $𝛿 𝑥^{𝜇} 𝜕_{𝜇} 𝑓$ 表示由于点坐标的变化带来的变化.

对于时空平移变换 $𝑥^{' 𝜇} = 𝑥^{𝜇} + 𝑎^{𝜇}, 𝛿 𝜙 = 0$

此时有

𝛿_{0} 𝜙 = - 𝑎^{𝜇} 𝜕_{𝜇} 𝜙

其实这就对应于场在平移下的变换:

𝜙^{'} (𝑥^{𝜇}) = 𝜙 (𝑥^{𝜇} - 𝑎^{𝜇})

在此之外, 场可能有内禀变换, 此时 $𝛿 𝑥 = 0$ , 变化的只有场.

考虑一个场, 其作用量可以写作

𝑆 (𝜙 (𝑥)) = \int d^{4} 𝑥 ℒ︀ (𝜙, 𝜕_{𝜇} 𝜙, 𝑥)

系统的演化路径遵循 $𝛿 𝑆 = 0$ , 则:

\begin{aligned} 0 = 𝛿 𝑆 & = \int [𝛿 (d^{4} 𝑥) ℒ︀ + d^{4} 𝑥 𝛿 ℒ︀] \\ = \int d^{4} 𝑥 (𝜕_{𝜇} 𝛿 𝑥^{𝜇} ℒ︀ + 𝛿 ℒ︀) \end{aligned}

而根据前文以及链式法则

\begin{aligned} 𝛿 ℒ︀ & = 𝛿 𝑥^{𝜇} 𝜕_{𝜇} ℒ︀ + 𝛿_{0} ℒ︀ \\ = 𝛿 𝑥^{𝜇} 𝜕_{𝜇} ℒ︀ + \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 𝜙} 𝛿_{0} 𝜙 + \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝛿_{0} (𝜕_{𝜇} 𝜙) \\ = 𝛿 𝑥^{𝜇} 𝜕_{𝜇} ℒ︀ + [\frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 𝜙} - 𝜕_{𝜇} \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)}] 𝛿_{0} 𝜙 + 𝜕_{𝜇} (\frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝛿_{0} 𝜙) \end{aligned}

最后一步是使用了分部积分, 并且使用了 $𝛿_{0} (𝜕_{𝜇} 𝜙) = 𝜕_{𝜇} (𝛿_{0} 𝜇 𝜙)$ . 同时注意到有:

\frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 𝜙} - 𝜕_{𝜇} \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} = 0

这是场的欧拉-拉格朗日运动方程. 则

0 = 𝛿 𝑆 = \int d^{4} 𝑥 𝜕_{𝜇} (𝛿 𝑥^{𝜇} ℒ︀ + \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝛿_{0} 𝜙)

考虑到变分的任意性, 则有 $𝜕_{𝜇} (𝛿 𝑥^{𝜇} ℒ︀ + \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝛿_{0} 𝜙) = 0$ , 对扩号内的部分使用 $𝛿_{0} = 𝛿 - 𝛿 𝑥^{𝜇} 𝜕_{𝜇}$ , 则:

\begin{aligned} 0 = 𝛿 𝑆 & = \int d^{4} 𝑥 𝜕_{𝜇} [ℒ︀ 𝛿 𝑥^{𝜇} + \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} (𝛿 - 𝛿 𝑥^{𝜈} 𝜕_{𝜈}) 𝜙] \\ = \int d^{4} 𝑥 𝜕_{𝜇} [(ℒ︀ 𝛿_{𝜇}^{𝜈} - \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝜕_{𝜈} 𝜙) 𝛿 𝑥^{𝜈} + \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝛿 𝜙] \end{aligned}

这样, 就得到了一个守恒流, 也就是本文的核心:

𝑗^{𝜇} = (ℒ︀ 𝛿_{𝜇}^{𝜈} - \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝜕_{𝜈} 𝜙) 𝛿 𝑥^{𝜈} + \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝛿 𝜙

对于一个在有限空间内分布的流(无穷远处, 场应该趋近于零, 这是其物理意义要求的), 考虑场的等时变分

\begin{aligned} 0 & = \int d^{4} 𝑥 𝜕_{𝜇} 𝑗^{𝜇} \\ = \int_{𝑡_{1}}^{𝑡_{2}} d 𝑥^{0} \int d 𝑥^{3} (𝜕_{0} 𝑗^{0} + \nabla \cdot \vec{𝑗}) \\ = \int_{𝑡_{1}}^{𝑡_{2}} d 𝑥^{0} 𝜕_{0} \int d^{3} 𝑥 𝑗^{0} \\ = 𝑄 (𝑡_{2}) - 𝑄 (𝑡_{1}) \end{aligned}

则 $𝑄 = \int d^{3} 𝑥 𝑗^{0}$ 就是诺特荷, 是在这个对称性给出的守恒量.

对于时空平移变换的特殊情况:

平移变换具有各向同性(说人话就是朝着时空四个轴有四个生成元) 那么, 诺特流就会升级成为能量动量张量原来的守恒流长这样

𝑗^{𝜇} = (ℒ︀ 𝛿_{𝜇}^{𝜈} - \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝜕_{𝜈} 𝜙) 𝛿 𝑥^{𝜈} + \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝛿 𝜙

去掉场的本身的变换: $𝛿 𝜙 = 0$ , 考虑到 $𝛿 𝑥^{𝜈} = 𝑎^{𝜈}$ 的任意性

𝜕_{𝜇} (ℒ︀ 𝛿_{𝜇}^{𝜈} - \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝜕_{𝜈} 𝜙) = 0

这就是场论的能量动量张量:

\begin{matrix} 𝑇_{𝜈}^{𝜇} = (- ℒ︀ 𝛿_{𝜇}^{𝜈} + \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝜕_{𝜈} 𝜙) \\ 𝑇^{𝜇 𝜈} = (- ℒ︀ 𝜂^{𝜇 𝜈} + \frac{𝜕 ℒ︀}{𝜕 (𝜕_{𝜇} 𝜙)} 𝜕^{𝜈} 𝜙) \end{matrix}

对于一个场的内禀变换而言, 比如复 Klein-Gordon 场的 $𝑈 (1)$ 对称性

\begin{aligned} 𝜙 & \to e^{𝑖 𝛼} 𝜙 \\ 𝜙^{*} & \to e^{- 𝑖 𝛼} 𝜙^{*} \end{aligned}

借助生成元 $𝛿 𝜙 = 𝑖 𝜙, 𝛿 𝜙^{*} = 𝑖 𝜙^{*}$ , 可以写出

𝑗^{𝜇} = 𝑖 [(𝜕^{𝜇} 𝜙^{*}) 𝜙 - 𝜙^{*} (𝜕^{𝜇} 𝜙)]

它对应的守恒荷就是:

𝑄 = \int d^{3} 𝑥 𝑗^{0} = 𝑖 \int d^{3} 𝑥 ({\dot{𝜙}}^{*} 𝜙 - 𝜙^{*} \dot{𝜙})

可以通过正则量子化计算发现这个守恒就对应电荷守恒.